평면의 방정식

평면의 방정식의 의미를 벡터 내적과 관련지어 생각해보자

우선 방정식이란 무엇일까?

방정식의 의미

미지수가 포함 된 식에서 그 미지수의 값이 어떻게 변하더라도 식이 항상 성립하는 경우가 있다.

$$(x+2)^2=x^2+4x+4$$

위의 식과 같이 변수 x값이 어떤 값을 가지던지 항상 식이 성립하는 등식을 항등식(恒等式)이라고 한다. 

$$x^2+2=4$$

이와 견주어 위와 같이 x의 값이 \(\sqrt 2\)또는 \(-\sqrt {2}\)가 되지 않으면 식이 성립하지 않는 즉 특정한 변수의 값만이 식을 성립하게 하는 식이 있다. 

이를 방정식(方程式) 이라고 한다. 이때 식을 성립시키는 변수의 값을 그 방정식의 해(解)또는 근(根)이라고 한다.  그리고 우리가 익히 알고 있듯 1차식의 해는 1개 2차식의 해는 2개인것처럼 방정식의 해는 여러개가 될 수 있다.

예를 들어 

아래의 (1)식은 평면의 방정식이다.

$$1x+2y+3z=7\label{1}\tag{1}$$ 

점 (\(x=2,y=1,z=1\))는 (1)식을 성립시키므로 (\(x=2,y=1,z=1\))는 (1)방정식의 해(解)이다.

그리고 (1)식의 해(解)는 이외에도 

(\(x=1,y=3,z=0\))

(\(x=0,y=2,z=1\))

(\(x=-1,y=1,z=2\))

\(\vdots\)

등의 수 많은 해를 가지고 있다.

이제 이 방정식을 약간 더 일반화 시킨 식에 대해 살펴 보자

$$ax+by+cz=7\label{2}\tag{2}$$

\((a\neq 0,b\neq 0,c\neq 0)\)앞의 예제에서와 마찬가지로 (2)식을 만족시키는 해는 수 없이 많다. (2)식을 만족시키는 모든 \(x,y,z\)값들의 모임을 \(r\)이라고 하자

이때 원점을 시작점으로 하고 각각의 해를 끝점으로 하는 벡터를 생각해 본다면 

$$\vec r=(x,y,z)\label{3}\tag{3}$$

로 표현이 가능하다.

여기까지 정리해보면

임의의 점 \(\vec r=(x,y,z)\)는 공간상의 수 많은 점들 중 식(\ref{2})에 넣었을때 식을 성립시키는 점들의 모임이다.

그렇다면 해가 될 수 있는 모든 점들을 x,y,z좌표계에 찍었을 때 그 모습은 어떨까?

그 모습을 알아보는 한가지 방법은 벡터의 내적을 활용하는 것이다.

식(3)과 (2)식의 계수로 만든 벡터 \(\vec k=(a,b,c)\)와 내적을 이용하여 식(2)를 다음과 같이 표현 할 수 있다.

$$\vec k \cdot \vec r=7\label{4}\tag{4}$$

내적의 정의에 의해 식(4)는 

$$|\vec k|\cdot |\vec r|cos\theta=7\label{5}\tag{5}$$

이므로 \(\vec r=(x,y,z)\)은 다음의 조건을 만족하기만 한다면 해가 될 수 있다.

$$|\vec r|\cdot cos\theta=\frac{7}{|\vec k|}\label{5-1}\tag{5-1}$$

이때 \(\theta\)는 \(\vec r\)과 \(\vec k\)의 사이각을 의미하기 때문에 

\(|\vec r|\cdot cos\theta\)는 \(\vec k\)에 내린 \(\vec r\)의 정사영 크기를의미한다.

그러므로 식 (\ref{5-1}) 이 의미하는 바는 \(\vec k\)에 내린 \(\vec r\)의 정사영 크기가 \(\frac{7}{|\vec k|}\) 라면 그 때 \(\vec r\)은 (2)식의 해가 될 수 있는 자격을 가진다.

그림[1]

이때 정사영의 크기가 \(\frac{7}{|\vec k|}\)이라는 것은 원점으로부터\(\vec r\)이 \(\\vec k\)에 정사영된 벡터의 끝점까지의 거리를 의미하고 아래의 그림[2]과 같이 정사영을 했을때 원점으로 부터 거리가 \(\frac{7}{|\vec k|}\)이 되는 점들을 모으다 보면 어렵지 않게 (\ref {2})의 해는 평면이 될 수 밖에 없다는 것을 알 수 있다.

[그림2-1]

[그림2-2]

[그림2-3]

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[그림3] 평면의 방정식 \(ax+by+cz=7\)의 평면은 \(\vec k=(a,b,c)\)와 수직인 수 많은 평면들 중 하나이고 그 중 원점으로부터 거리가 \(\frac{7}{|\vec k|}=\frac{7}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}\)인 점에서 형성되는 평면이라고 할 수 있겠다.

[그림3]