Gradient (구배)는 그 점에서 가장 기울기가 급한 방향을 가르킨다.

공업수학을 처음 배우게 되면서 보게되는 $\nabla$이 문양은 나블라(nabla)라고 불리며 하프를 가르키는 그리스어 (nabla)에서 유래 되었다.

수학에서는 델($\nabla$) 연산자라고 불린다.

$\nabla$는 하프에서 유래되었다.

[그림출처: wikipedia]

3차원 x,y,z좌표계에서 $\nabla$은 다음과 같이 정의 된다.

$$\nabla=\left(\frac{\delta}{\delta x}\vec i+\frac{\delta}{\delta y}\vec j +\frac{\delta}{\delta z}\vec k\right)\label{1}\tag{1}$$

그리고 스칼라 함수 $f$에 $\nabla$를 내적한 gradient(구배)는 다음과같이 정의된다.

$$grad~f=\nabla \cdot f=\frac{\delta f}{\delta x}\vec i+\frac{\delta f}{\delta y}\vec j +\frac{\delta f}{\delta z}\vec k\label{2}\tag{2}$$

식(2)에서 볼 수 있듯 $\nabla \cdot f$는 벡터 값이다.

(스칼라 함수 f에 $\nabla$를 취하니까 벡터 함수가 되었다.)

우리가 익히 알고 있듯 벡터 값은 크기와 방향을 가진다.

그리고 이 $\nabla \cdot f$ 라는 벡터함수의 결과 값은 신기하게도 그 점에서 기울기가 가장 급한 방향을 가르키고 그 크기를 알려준다.

단순히 스칼라 함수에 $\nabla$를 취함으로서 그 점에서 가장 기울기가 큰 방향을 알 수 있다는 것이다.

예를 들어 방의 온도에 관한 함수를 $f=(x,y,z)=x^2-3y+2z^3$라고 한다면 점 (4,2,1)에서 방의 온도는 $$f(4,2,1)=12^\circ C\label{3-1}\tag{3-1}$$ 그리고 그 점에서 온도가 가장 급격하게 변하고 있는 방향은 $$\nabla \cdot f=2x-3+6z\label{3-2}\tag{3-2}$$ $$\nabla \cdot f(4,2,1)=8\vec i-3\vec j+6\vec j\label{3-3}\tag{3-3}$$

그리고 그 기울기의 크기는 $$|\nabla f|=\sqrt{8^2+3^2+6^2}=109\label{3-4}\tag{3-4}$$

라는 것이다.

단순히 스칼라 함수에 $\nabla$을 내적하는것, $grad~f$는 어떻게 기울기가 가장 큰 방향을 가르키는 벡터함수가 되는걸까?

[1-1] 편미분의 의미

식(\ref{1})을 다시 살펴보면 $\nabla$의 각 성분은 각 축에 대한 편미분을 의미하는 것을 확인할 수 있다.

그러므로 $\nabla$을 더 잘 이해하기 위해서 우리는 편미분의 의미를 알아야 한다.

편미분은 함수 f(x,y,z)가 한 점에서 다른방향로의 이동은 하지않는 상태에서 오로지 한 방향으로의 아주 작은 이동이 f값의 변화에 미친 영향을 의미하는 값이다.

예를들어 식(\ref{2})에서 $\vec i$의 성분 $\frac{\delta f}{\delta x}$(함수 $f$의 $x$에 대한 편미분값)은 한 점에서 y,z값은 상수로 고정시킨 상태에서 오로지 x 방향으로의 아주 작은 이동이 f값의 변화에 미친 영향을 의미한다.

$$\frac{\delta f}{\delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y,z)-f(x,y,z)}{\Delta x}$$

->위 예제에서 $\frac{\delta f}{\delta x}$ 는 y와z값이 상수로 고정된 상태 $x=2,z=1$ 오로지 x에 의해서만 변하는 f값의 변화율을 의미한다.

[3차원에서 편미분의 정의 시각화]

[y를 2, z를 1로 고정하고 x값을 변화시키는 경우의 f 값의 변화]

[x값에 따른 f 값의 변화와 편미분의 시각화]

[1-2] 함수값이 가장 커지는 방향

어떤 점에서 편미분 값이 다음과 같은 한 점이 있다고 생각해보자

$\frac{\delta f}{\delta x}=3$

$\frac{\delta f}{\delta y}=2$

$\frac{\delta f}{\delta z}=1$

이 점에서 f는 X방향으로 1이동할 경우 3증가, Y방향으로 이동할 경우 2증가, Z방향으로 이동할 경우 1증가한다.

이 점에서 어느 방향으로 1만큼 움직여야 가장 f가 커질까?

즉 이점에서 기울기가 가장 큰 방향은 어디인가?

쉽게 생각했을때 X방향의 변화율이 가장 크니까 X방향으로 1 움직였을때 f값은 3 증가라고 생각할 수 있으나

실제로는 X방향으로 $\frac{3}{\sqrt {14}}$, Y로 $\frac{2}{\sqrt {14}}$ , Z로 $\frac{1}{\sqrt {14}}$로 총 1만큼 움직여야 f값은 $\sqrt {14}$로 가장 많이 증가한다.

즉 단위거리를 움직일때 $grad f=\nabla\cdot f=$ $\left(\frac{\delta f}{\delta x},\frac{\delta f}{\delta y},\frac{\delta f}{\delta z}\right)$ 방향인 [3,2,1]방향으로 움직여야 $f(x,y,z)$ 값이 가장 커진다.