발산정리 (Divergence Theorem, 發散整理)

이전에 스칼라함수에 를 내적한 Gradient(구배)를 공부했다면

(Gradient F의 의미)

발산의 정의

이번엔 벡터함수에 를 취한 Divergence(발산)을 알아본다.

, 인 두 벡터가 있다.

[3차원에서 발산의 정의]

div F(F의 발산)의 각 항들을 살펴보면

div F는

(x에 의한 F의 x방향성분의 증가율) + (y에 의한 F의 y방향성분의 증가율)+(z에 의한 F의 z방향성분의 증가율)이므로 크기만 가지는 스칼라 값임을 알 수 있다.

그런데 이 \(div F\) 를 벡터 F가 존재하는 도형의 모든 부피에 대해 적분을 취하게 되면

(=도형의 부피안에 있는 모든 점들의 \(div F\)값을 더해주면)

신기하게도 그 값이 도형의 면에서의 벡터 F를 적분 해준 값과 같다.

(=도형의 바깥 면에 있는 모든 점들에서 \(F\cdot\vec n\)값

(F와n의 내적값, 면에 수직한 F성분의 크기 ,스칼라 값)을 더해준것과 같다.)

[divergence theorem , 발산정리의 정의 , 發散整理]

\(Div F\)에서는 그 부피를 기준으로 나가는 벡터값을 +들어오는 벡터값을 - 로 정의한다.

[1]부피적분이 면적분이 되는 과정

이 중 첫번째 항의

는 의 x방향성분 의 오로지 x에 의한(y,z는 고정) 변화율을 의미한다.

첫번째 항

을 그림과 같이 파란부분과 빨간부분으로 나누어 생각해 보면

(1)

(특정 y,z좌표에서 P면과 Q면의 차이를

(2)

(y,z 값을 P면,Q면의 모든 점에 따라 바꾸어 가며 모두 더해주자)

즉 P면과 Q면의 ** 차이를 모두 더한 것이다.**

마찬가지로 두번째 세번째 항에서도 적분을 진행하면 위,아래 면에서의 Fz의 차이 앞뒤면에서의 Fy의 차이가 계산되고 이를 모두 더한 값은 도형의 면적분과 같은 의미를 지니게 된다.

[직관적 이해]

아래의 도형에 x축과 평행한 꼬챙이를 도형에 푹 꽂는다. 그렇게 하면 그 꼬챙이는 P면과 Q면에서 닿는 두점이 생긴다. 그리고 P,Q면과 만나는 두점에서의 값의 차이가 계산되어 나온다고 생각해 보자 그리고 그 꼬챙이를 잡고 x축과 평행한 상태로 이리저리 움직인다. 도형의 모든 P,Q면에서 꼬챙이를 움직였다면 나온값은 P면의 모든 값의 합에서 Q면의 모든 값을 뺀 값이 나오게 될것이다.

[직관적 이해 2]

도형안에 아주 작은 정육면체가 있다고 상상해본다. 그리고 그 안으로 물이 흐른다.위의 도형은 무수히 많은 작은 정육면체들의 합으로 표현이 가능하다. 한 정육면체의 한면에서 나가는 물의 양은 그 옆에 붙은 다른 정육면체의 입장에서는 들어오는 물의 양이다. div F 에서 나가는 양은 +로 들어오는 양은 -로 정의된다. 작은 정육면체의 div F 값은 그 정육면체에서 나가는 물의 양이다. 이는 이 정육면체와 붙어 있는 6개의 다른 정육면체의 div F값 중 한면의 값과 더하면 상쇄가 되고 그런식으로 계속해나가다 보면 전체 도형안의 div 값은 모두 상쇄가 되고 결국은 가장 바깥쪽의 도형면에서 나가고 들어오는 물의 양만이 남는다.