Convolution의 의미_2 : Continuous time에서의 unit impulse function

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discrete time에서의 unit impulse function

Convolution_2

Continuous time 에서 Unit impulse function (Dirac delta function)

이산시간(Discrete time) 에서 단위 임펄스 함수(unit impulse function)

δ(n)은 n=0 에서 1이고 n≠0 에서는 0의 값을 갖는 함수다.

연속시간(Continuous time) 에서 단위 임펄스 함수(unit impulse function)

δ(t)는 다음과 같이 정의한다.

[연속시간에서 단위임펄스 δ(t)의 정의]

 이는 다음의 과정을 통해 유도 된다.

여기서 (1/Δ)×Δ= 1이기에 Δ의 값에 관계없이 구간의 넓이는 항상 1이다.

[출처 Wikipedea]

[δ(t)의 정의]

(t=0에서 δ(t)의 값은 ∞지만 그림으로 표현하기 힘들기에 

t=0에서의 넓이가 1 이라는 의미에서 위 그림과 같이 화살표로 표현한다.)

Discrete time 에서 unit impulse function은 n=0 에서 함수의 크기가 1이였던 반면

Continuous time에서 unit impulse function의 큰 특징은 t=0에서의 미세한 구간의 넓이가 1 이다.

Contiunuos time의 unit impulse function도 discrete time에서와 마찬가지로 함수의 일정부분을 추출하는데 쓸 수 있다.

함수 x(t)에 δ'(t-kΔ)*Δ 를 곱하면

다음과 같이 x(t)를 쪼갤 수 있고 

이 쪼개진 막대들을 모두 모으면

여기에 극한을 취하면 정적분의 정의에 의하여