Convolution의 의미_3 : LTI system

이글을 읽기전에...

discrete time에서의 unit impulse function

continuous time에서의 unit impulse function

Convolution_3

LTI System (Linear Time Invariant System)

        -선형이고 시간에 영향을 받지않는 시스템

1.)선형성(Linearity).

다음의 유튜브 선형대수 영상 시리즈를 완주하면

선형성에 대한 이해와 그 기하학적 의미에 대한 놀라움을 경험할 수 있다.

(Essence of linear algebra라는 제목으로 총 15편이 있다.)

다음의 두 조건을 만족하면 그 시스템은 선형성을 가진다.

조건 1.

조건2.

2)Time invariant 

time invariant는 신호에 대한 응답이 시간의 영향을 받지 않는 것을 의미한다.

지금 디지털 피아노의 x라는 버튼을 눌렀을 때 '도' 음이 3초간 나온다고 하자

잠시 후 다시 x라는 버튼을 같은 세기로 눌렀을때 '도'음이 3초간 나오지 않고 다른 응답이 나왔다면

이 시스템은 시간에 의해 반응이 바뀌었다고 말할 수 있을 것 이다.

그러므로 이 디지털피아노의 반응은 시간에 의존적이다.

(time variant 하다).

만약 x라는 버튼을 언제 누르던지 항상 '도' 음 3초가 나온다면

이 디지털피아노는 시간에 의존하지 않는 time invariant system이라 할 수 있다.

즉 time invariant 시스템의 경우 동일한 신호라면 언제 넣어도 같은 응답을 출력하는 반면에 

time varient 시스템의 경우 같은  입력이라도 1초에 넣는 경우와 2초에 넣는 경우 나오는 시스템의 응답이 각각 다르다.

   (1)time variant (시간에 의존하는) 시스템

[1-1] 다음의 단위신호가 1초,2초,3초에 한번씩 입력된다고 하자

여기서  n=0은 항상 현재를 의미한다.

[1-2]

0초를 기준으로 볼때

h₁(0)=0.7은 1초에 1이라는 신호가 입력 됐을때 1초때 반응이 0.7임을 의미함

h₁(1)은 2초에서의 반응을 의미함

h₂(0)=0.5는 2초에서의 넣은 입력에 대한 2초에서의 반응이 0.5임을

h₂(1)은 2초에 넣은 입력에대한 3초에서의 반응을 의미함

즉 시스템에 따라 [1-1] 같은 신호를 입력하더라고 언제입력했느냐에 따라 그 응답이 바뀔 수 있다.

ex) 3초에 단위신호 1을  입력하는 경우의 입력단위 신호의 표현과 응답의 표현

3초에 [1-1]의 응답이 들어갔을때 

n=0은 항상 현재를 의미한다.(3초때)

3초에 0.3의 응답, 4초에 0.7의 응답, 5초에 1의 응답이 나왔다.

 (2)time invariant (시간에 관계없는) 시스템

마찬가지로 다음의 [1-1]신호가 1초,2초,3초에 한번씩 입력된다고 하자

만약 이 시스템이 time invariant 라면

그에 대한 응답은

time invariant 시스템에서는 시간이 응답에 영향을 주지 않는다.

한 시스템에서 unit impulse signal에 대한 응답은 1개 뿐이며 

시간의 영향을 받지않기 때문에 h밑 첨자를 쓰는것도 무의미하기에 

time invariant시스템에서 응답은 다음과 같이 모든 시간에 대해 첨자를 생략한 상태로 사용한다.