Convolution의 의미_4 : Convolution의 이해

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discrete time에서의 unit impulse function

continuous time에서의 unit impulse function

LTI system

 

 

 

 

 

Convolution

 

 

+가 더하기의 연산자이듯 ×가 곱하기의 연산자이듯

 

* 는 Convolution의 연산자다.

 

 

Convolution의 정의

[convolution의 정의]

 

그리고 다음과 같은 신호f(t)가 system에 입력된다고 하자

[입력함수 f(x)]

 

 

 

 

 

h(t)는 impulse signal에 대한 응답 system의 impulse response이다.

그리고 이 System은 LTI system이라 가정한다.

 

[impulse response 함수]

 

 

f(t)와 h(t)의 Convolution은 다음과 같이 읽을 수 있다.

 

 

 

(1)

 

(2)

 

 

f(t)와 h(t)의 convolution으로 나온 응답함수를 y(t)라 할때 y(2)를 구해보자

y(2)는 모든 시간대의 입력신호가 t=2일때의 시스템에 영향을 미치는 정도의 합이다.

 

f(-1)이 y(2)에 미치는 영향은 -1에서 부터 3초가 흘렀으므로 

f(-1)은 y(2)에 h(3)의 영향을 준다.

고로 1.2×0.8=0.96의 영향을 준다.

(1)

[f(-1)이 y(2)에 주는 영향]

1.2×0.8=0.96

 

 

 

(2)

[f(0)이 y(2)에 주는 영향]

1.4×1=1.4

 

(3)

[f(1)이 y(2)에 주는 영향]

2.2×1.8=3.96

y(2)를 구하는 것은 -∞에서 ∞까지 발생한 모든 신호가 y(2)에 각각 주는 영향을 더한 것 이다.

 y(2)=-…+0.96+…+1.4+…+3.96+…이 될 것 이다.

 

 

이때 보통 우리는 -∞에서 t (예제에서는 2초)까지 적분을 한다.

만약 t초 이후에 발생한 신호가 t초에 영향을 미친다는 것은 미래의 신호가 현재 신호에 영향을 미친다는 것으로 보편적인경우 현재시간 t에서 ∞의 입력 신호값은 0으로 생각한다.