Convolution의 의미_1 : Discrete time에서의 unit impulse

Convolution은 연산이다.

더하기라는 연산의 연산자가 +이듯

빼기라는 연산의 연산자가 -이듯

convolution이라는 연산의 연산자는 *이다. (곱하기와 비슷하게 생겼다.)

convolution에 대해 이해하기 위해서는 단위신호(Unit impulse signal)를 먼저 알아야한다,

이산시간(discrete time)과 연속시간(continuous time)에서  단위신호(Unit impulse)가 다르게 정의 되지만 실상 느낌은 비슷하다. 

discrete time에서 단위신호가 더 이해하기 쉬우므로 먼저 살펴보자

discrete time에서의 

Unit impulse δ(n)은 다음과 같이 정의된다.

[discrete time에서의 unit impulse function 의 정의]

δ(n)은 n=0 에서만 1의 값을 가지는 함수다.

n≠0인 경우는 모두 0의 값을 가지므로

임의의 함수 x(n)에 δ(n)을 곱하는 경우 x(0)값만 살아남고 나머지는 모두 0이 된다.

이 경우 우리는 δ(n)이 x(n)에 곱함으로서 x(0)을 추출할 수 있음을 확인 할 수 있다.

마찬가지로 δ(n-1) 함수의 경우 n=1에서만 1의 값을 갖고 

n≠1인 경우 모두 0의 값을 가지므로

임의의 함수 x(n)에 δ(n-1)을 곱하는 경우 x(1)값만 살아남고 나머지는 모두 0이 된다.

이 경우 우리는 δ(n-1)을 x(n)에 곱함으로서 x(1)을 추출할 수 있음을 확인 할 수 있다.

이런식으로 계속 표현 한다면 

x(n)은 다음과 같이 표현이 가능하다.

이번장에서는 어떠한 신호(signal)를 시스템에 입력했을때 

그 응답(response)이 어떻게 나오는지에 대해 공부한다. 

x(n)은 입력신호다. 

신호를 한꺼번에 다 입력하고 그 응답이 어떻게 나올지 생각하는 것은 어려운 일이다.

그래서 신호를 -3에서의 신호,-2에서의 신호,-1에서의 신호....이런식으로 쪼개고 각각의 신호에 대한 응답을 구한다음 

그 모든 응답을 더해서 전체 신호의 응답을 구한다.

여기서는 δ(n)의 개념을 정확히 알고

x(n)에 δ(n-k)를 곱하면 x(k)성분을 뽑아낼 수 있다는것,

이렇게 x(n)의 한 성분을 뽑아내는 이유는 시스템에 신호를 입력할때

x(n) 신호 전체가 한꺼번에 입력되고 그 응답이 어떻게 나올지 생각하는 것은 어려운 일 이기에

x(n)을 쪼개어 각각의 응답을 구하고 그 응답을 더하게 되었다는 것이다.